Dos Elementos Euclidianos

euclidesE todo problema e todo teorema, o completo de partes suas perfeitas, querem ter em si todas estas: enunciado, exposição, distinção (ou especificação), construção, demonstração, conclusão. E dessas, o enunciado diz o que é o procurado do que é dado. Pois o enunciado perfeito é de ambos. E a exposição, tendo separado o dado, apronta-o, a ele mesmo, de antemão, para a investigação. E a determinação torna bem claro, separadamente, o procurado, o que enfim é. E a construção adiciona as coisas faltantes ao dado para a ávida perseguição do procurado. E a demonstração deduz cientificamente o proposto a partir das coisas acordadas. E a conclusão retorna de novo ao enunciado, afirmando o demonstrado. E todas as partes juntas tanto dos problemas quanto dos teoremas são tais; mas as mais necessárias, existentes em todos, são enunciado e demonstração e conclusão.

(Proclus,203.1-18)

Conta-se que outrora um jovem perguntou a seu mestre qual lucro teria estudando a geometria. O mestre, chamado Euclides (+/- 325 a.C. – 265 a.C.), entregou-lhe algumas moedas e disse-lhe que daquele momento em diante ele não mais seria seu aluno. Assim seria a matemática, como a filosofia, uma atividade teorética desinteressada? É bem verdade que com a tradição euclidiana, e consequentemente com o desenvolvimento do neopitagorismo, neoplatonismo e neoaristotelismo, houve um sincretismo entre matemática e filosofia onde os elementos de ambas atividades intelectuais deram origem a princípios como Limite, Ilimitado, Um e Muitos; mas o que teria Euclides contribuído para isso em sua principal obra, Dos Elementos?

Este Matemático compilou, aperfeiçoou e registrou as descobertas matemáticas de seus predecessores, além de definir também o padrão lógico da atividade matemática, servindo de inspiração à Newton e à Ética de Spinoza. Sua relação filosófica estende-se ainda de maneira que ele teria construído os cinco sólidos regulares do Timeu platônico. Proclus, primeiro a isto defender e cujo trabalho de maior destaque é o Comentário ao Primeiro Livro dos Elementos de Euclides, reconhece Euclides como um autêntico partidário da teoria platônica do conhecimento. Será mesmo? Oficialmente não existam evidências suficientes para concluir ter sido Euclides membro da Academia de Platão, mas é  aceitável que o matemático tenha adquirido instruções dos acadêmicos.

O “ser matemático”, como Proclus inicia o seu Prólogo, ocupa uma posição intermediária entre a simples realidade imaterial, de um lado, e o complexo e confuso mundo dos sentidos, de outro. A superioridade da matemática sobre este reside na exatidão, estabilidade e clareza de suas proposições, no estabelecimento de seus atributos e na capacidade de estabelecer relações. A inferioridade relativa àquela recai sobre o vínculo da matemática com a percepção, impedindo-a de constituir-se como uma ciência de puras formas.
(Gustavo Barbosa. Platão e a Matemática: uma questão de método )

Livro I – Dos Elementos

Definições

1. um ponto é aquilo que não tem partes ou que não tem grandeza alguma.
2. uma linha é o que tem comprimento sem largura.
3. as extremidades de uma linha são pontos.
4. uma linha reta é uma linha traçada uniformemente com os pontos sobre si.
5. uma superfície é aquilo que só tem comprimento e largura.
6. os lados de uma superfície são linhas.
7. uma superfície plana é uma superfície traçada uniformemente com suas retas sobre si.
8. um ângulo plano é a inclinação, em relação uma com a outra, de duas retas de um plano que se cruzam entre si e não estão na mesma reta.
9. quando as linhas que contém o ângulo são retas, o ângulo é chamado retilíneo.
10. quando uma reta é colocada sobre outra reta de maneira que os ângulos adjacentes sejam iguais, cada um dos ângulos é chamado reto e a reta superposta diz-se perpendicular à primeira.
11. um ângulo obtuso é um ângulo maior que um ângulo reto.
12. um ângulo agudo é um ângulo menor que um ângulo reto.
13. uma fronteira é aquilo que é a extremidade de alguma coisa.
14. uma figura é tudo aquilo que fica delimitado por qualquer fronteira ou fronteiras.
15. um círculo é uma figura plana fechada por uma linha tal que todos os segmentos que sobre ela estejam e que passem por um ponto determinado do interior da figura sejam iguais entre si.
16. e o ponto é chamado centro do círculo.
17. o diâmetro do círculo é uma linha reta desenhada passando pelo centro e terminando em ambas as direções na circunferência do círculo e como uma linha reta, também bisseta o círculo.
18. o semicírculo é a figura contida pelo diâmetro e a circunferência é cortada por ele. O centro do semicírculo é o mesmo do círculo.
19. figuras retilíneas são aquelas delimitas por linhas retas, figuras triláteras são contidas por três, quadriláteras são contidas por quatro e multiláteras são contidas por mais de quatro linhas retas.
20. nas figuras triláteras, o triângulo equilátero é aquele que tem os três lados iguais, um triângulo isósceles é aquele que tem dois de seus lados iguais e um triângulo escaleno é aquele que tem os três lados diferentes.
21. ainda nas figuras triláteras, um triângulo retângulo é aquele que tem um ângulo reto, um triângulo obtusângulo é aquele que tem um ângulo obtuso e um triângulo acutângulo é aquele que tem três ângulos agudos.
22. das figuras quadriláteras, o quadrado é aquele que tem os lados iguais e os ângulos retos; um oblongo (retângulo) é aquele que tem ângulos retos mas os lados não são iguais; o rombo (losango) é aquele que tem os lados iguais e os ângulos não retos e rombóide (paralelogramo) é aquele que tem seus lados opostos e ângulos iguais a outro, mas não tem os lados iguais nem os ângulos retos. Chamemos outros quadriláteros que não tenham estas condicionantes de trapézio.
23. retas paralelas são linhas retas que estando no mesmo plano, prolongadas indefinidamente nos dois sentidos, não se cruzam.

Postulados

1. dados dois pontos, há um segmento de reta que os une.
2. um segmento de reta pode ser prolongado indefinidamente para construir uma reta.
3. dados um ponto qualquer e uma distancia qualquer, pode-se construir um círculo de centro naquele ponto e com raio igual à distância dada.
4. todos os ângulos retos são iguais entre si.
5. se uma reta cortar duas outras retas de modo que a soma dos dois ângulos internos de um mesmo lado seja menor que dois ângulos retos, então as duas outras retas se cruzam, quando suficientemente prolongadas, do lado da primeira reta em que se acham os dois ângulos.
(Esse postulado se tornou alvo de críticas e inúmeras tentativas foram feitas para demonstrá-lo, mas a maior parte delas ou admitiam fatos equivalentes a ele ou faziam uso de afirmações que não podiam ser demonstradas pelos quatros outros postulados).

Noções comuns ou Axiomas

1. duas coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
2. se parcelas iguais forem adicionadas a quantias iguais, os resultados continuarão sendo iguais.
3. se quantias iguais forem subtraídas das mesmas quantias, os restos serão iguais.
4. coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
5. o todo é maior do que as partes.

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Categoria: Matemática

Sobre o(a) Autor(a) ()

Estudante de Filosofia (Universidade Federal de Pernambuco - UFPE), tenho paixão pelo mundo. Busco conhecer a vida em seus mais íntimos aspectos: desde a origem do primeiro ser ao que está se desenvolvendo no imensurável circulo existencial. Prezo pela comunicação afetiva e verdadeira e, através de tais encantos, vivencio a Palavra em seus mais profundos aspectos, isto é, o conhecer e o comunicar.

Comentários (1)

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  1. Legal ler esse trecho “Dos Elementos”. Alguns comentários complementares:

    1. Euclides foi muito influente na matemática e na filosofia, ao ser o precursor do método axiomático e esclarecer um padrão de exatidão frequentemente associado à matemática (com postulados, definições, e deduções) – uma racionalidade que os filósofos muitas vezes buscaram alcançar, como, por exemplo, aparece em Espinoza, cuja ” Ethica, ordine geometrico demonstrata” (1677) era uma clara referência a Euclides.

    2. Apesar disso, para os padrões contemporâneos, “Dos Elementos” não apresenta uma teoria formal axiomática para a geometria; postulados e axiomas, hoje, são considerados a mesma coisa. E várias definições de Euclides, como a definição de ponto, não atendem à noção de definição matemática atual. Por exemplo, no caso da definição de ponto, ela é puramente negativa, e não fornece condições necessárias e suficientes. Axiomas, por muito tempo, foram considerados como verdades autoevidentes. Hoje, do ponto de vista sintático, são apenas um conjunto de símbolos usados como ponto de partida – obviamente, a escolha não é arbitrária; escolhe-se pela sua utilidade. Que eu saiba, também, Euclides não apresentou explicitamente nenhuma regra de inferência.

    Vale a pena conferir este texto relacionado ao assunto, de um professor de matemática da UFPR: http://adonaisantanna.blogspot.com.br/2012/09/qual-e-o-tamanho-de-um-ponto.html

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